Negative Feedback 구조 및 특성, Feedforward, Feedback, Open-loop gain, Closed-loop gain [Razavi][Ch8]

출처: Behzad Razavi, Design of Analog CMOS Integrated Circuits, Second Edition

Chapter 8 - Feedback (pg. 274~282)

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8. Feedback

8.1. General Considerations

Overview

Feedback에는 negative feedback과 positive feedback이 있습니다. 

Negative feedback은 정확한 신호를 만드는 데 유리하고, positive feedback은 oscillator를 만들 때 사용합니다. 

이 단원에서 'feedback'이라 함은 negative feedback을 말하는 것입니다. 

Feedback의 역할 및 장점, 4가지 topology를 살펴보고, feedback 회로 분석법을 알아보겠습니다. 

 

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General Feedback System

 

Fig. 8.1은 general한 feedback system의 구조입니다. 

여기서 X(s)가 input, Y(s)가 output입니다. 

 

H(s)는 feedforward network로, open-loop transfer function이기도 합니다. 

주로 amplifier가 이에 해당합니다. 

 

G(s)는 feedback network로, feedback factor β를 가집니다. 

β는 frequency-independent한 값입니다. 

 

Feedback network를 1번 이상 지난 input은 feedback error로 X(s)-G(s)Y(s)가 되며, Y(s) = H(s)*(X(s)-G(s)Y(s))입니다. 

(8.2)의 Y(s)/X(s) 식을 closed-loop transfer function이라고 하고, 분모의 G(s)H(s)를 loop gain이라고 합니다. 

 

 

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Feedback 회로의 특성

Feedback 회로의 특성으로는 크게 4가지가 있습니다.

1. Gain Desensitization
2. Terminal Impedance Modification
3. Bandwidth Modification
4. Nonlinearity Reduction

하나씩 알아보겠습니다. 

 

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1. Gain Densitization

 

Vout과 Vin 사이에 feedback을 걸었더니, gain이 두 capacitance의 비율로 정해지는 것을 볼 수 있습니다. 

 

 

Fig. 8.4의 feedback system에서 closed-loop gain은 (8.5)인데, loop gain βA가 매우 클 경우 이는 (8.6)으로 근사됩니다. 

 

βA를 크게 만드는 방법으로 β를 키우는 방법과 A를 키우는 방법이 있겠죠.

그런데 β를 키울 경우, closed-loop gain이 작아지는 단점이 있습니다.

 

따라서 loop gain을 키울 때 A를 키웁니다. 

A는 공정, 온도, 주파수, load의 변화에 민감한데, loop gain βA가 크다면 A가 변하더라도 closed-loop gain Y/X가 영향을 거의 받지 않습니다.

이것이 feedback을 거는 이유입니다.

 

 

• Loop gain 계산법

 

 

X(s)를 gnd시키고, loop을 끊고, test signal을 인가하고, loop을 따라 전달된 신호로부터 Vf를 계산합니다.

 

 

CS stage의 diode 연결에 C2가 추가된 feedback 구조의 loop gain을 계산해 봅시다.

여기서 A는 CS stage의 gain이고, β는 feedback, 즉 C2입니다.

X(s)를 gnd시키고, feedback loop을 끊고 test signal을 인가합니다.

그러면 M1의 gate로 전류가 흐를 수 없으므로 C2에 흐르는 전류와 C1에 흐르는 전류가 같다는 식을 세울 수 있습니다.

이를 정리하면 (8.7)이 됩니다.

Vf/Vt를 구하기 위해 Vf/Vx=-gm1ro1을 (8.7)의 양변에 곱하면 loop gain을 (8.8)로 얻을 수 있습니다.

 

 

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2. Terminal Impedance Modification

 

Input resistance modification과 output resistance modification이 있습니다. 

 

• Input Resistance Modification

 

저주파에서 feedback이 있을 때와 없을 때의 input resistance를 비교해 봅시다.

 

<Fig. 8.8>

• (a): Common-gate circuit에 feedback이 걸린 구조입니다.
  • Vout에 capacitive voltage divider를 연결해서 current source M2의 input으로 인가하고, Vin을 만들어냅니다.
• (b): Open-loop circuit의 input resistance를 구해봅시다.
  • Feedback loop을 끊으면 Rin,open은 (8.9)와 같습니다. (M2의 drain에서 본 resistance는 ro2로 커서 병렬연결 시 무시)
• (c): Closed-loop circuit의 input resistance를 구해봅시다.
  • ΔVout=IdRd=(gm1+gmb1)VxRd이므로 Vp는 (8.11)과 같이 나타납니다.
  • M2의 small-signal drain current는 이에 gm2를 곱한 값이 됩니다.

 

M1과 M2의 small-signal current를 더하면 Ix가 됩니다. (8.12), (8.13)

Closed-loop resistance는 Vx/Ix로, (8.15)와 같습니다.

Feedback이 input resistance를 1+gm2RdC1/(C1+C2)만큼 감소시켰다는 것을 알 수 있습니다.

Closed-loop gain 식과 비교해 보면 gm2RdC1/(C1+C2)가 loop gain이겠죠.

 

 

• Output Resistance Modification

다음은 feedback으로 인한 output impedance 조절의 예시입니다.

 

C1, C2, M2가 Vout을 센싱해서 M1의 source에 gm2Vout*C1/(C1+C2)를 인가합니다.

 

이것도 negative feedback입니다.

만약 Vout이 커지면 à Vp가 증가 à M2의 Vd(=M1의 Vs)가 감소 à Vgs1 증가 à Vout 감소이기 때문입니다.

 

이렇게 생각해도 되고, CS와 CG stage의 input, output polarity로 판단해도 됩니다.

Vout이 커지면 M2는 CS stage, M1는 CG stage가 됩니다.

CS stage는 input과 output의 polarity가 반대이고, CG stage는 input과 output의 polarity가 같습니다. (+source follower도 input과 output polarity가 같습니다.)

따라서 Vout이 증가해 Vp가 증가하면 M2의 Vd(=M1의 Vs)가 감소하고, M1의 output인 Vout이 따라 감소하는 것입니다.

 

이 feedback으로 인해 output resistance가 감소하는 것을 볼 수 있습니다.

 

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3. Bandwidth Modification

 

Feedback으로 bandwidth도 바꿀 수 있습니다.

Feedforward amp의 전달함수가 (8.18)처럼 one-pole이라고 가정하면, closed-loop system의 전달함수는 A/(1+βA)로 (8.19)~(8.21)이 됩니다.

 

Feedback이 없을 때의 전달함수인 (8.18)과 feedback을 걸었을 때의 전달함수인 (8.21)을 비교해 보면, pole이 (1+βA0)배 되어 3dB bandwidth도 (1+βA0)배 된 것을 알 수 있습니다.

 

• -3dB frequency: 신호의 power가 최대값의 절반으로 감소하는 주파수를 의미하며, bandwidth를 정의하는 데 중요한 기준으로 사용됩니다.
  • Amp나 filter에서 신호가 효과적으로 전달되는 주파수 범위를 나타냅니다.
  • (s=jω) ω=ωp가 -3dB frequency입니다.

 

 

그런데 feedback을 줘도 GBW는 그대로 A0ω0입니다.

이때 high speed와 high gain을 높일 수 있는 방법은 cascade를 사용하는 것입니다.

 

GBW가 일정하므로 high speed를 위해서는 gain을 포기해야 하는데, high speed amp를 cascade하면 gain이 커지므로 speed와 gain을 둘다 높일 수 있습니다.

 

 

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4. Nonlinearity Reduction

 

Negative feedback은 회로의 nonlinearity를 줄이기도 합니다.

 

 

Fig. 8.12(a)는 nonlinear amp의 input-output 특성으로, slope(small-signal gain)이 일정하지 않은 것을 볼 수 있습니다.

반면, feedback을 적용한 (b) 그래프에서는 slope 변화가 더 작습니다.

 

Feedback이 없는 회로의 open-loop gain 비율은 A2/A1이고, A2=A1-ΔA라고 하면 이를 (8.23)으로 나타낼 수 있습니다.

Feedback을 적용하면 open-loop gain 비율은 (8.24)~(8.28)이 됩니다.

 

Loop gain 1+βA2가 크다면 Vin에 따른 gain 비율이 1에 더 가까워지는 것을 볼 수 있습니다.